В простых механических системах с небольшим числом переменных, характеризующих их состояние, возможны сложные непредсказуемые, случайные движения. Причем эта случайность носит принципиальный характер: от нее нельзя избавиться, уточняя начальные условия и набирая большую информацию о возможных воздействиях на систему. Порожденную таким образом ситуацию и стали называть хаосом, или динамическим хаосом. Видимый парадокс состоит в том, что движение в принципе полностью однозначно определяется начальными условиями и уравнениями движения и само по себе не включает никаких произвольных элементов случайности. Однако даже сколь угодно малые неопределенности в начальных условиях очень быстро нарастают, и поэтому поведение системы может быть предсказано только на очень и очень малых интервалах времени, а на более или менее длительные сроки предсказания совершенно невозможны. Движение оказывается неустойчивым.
Замечательно, что взаимодействие частей системы может вызывать глобальные изменения поведения самой системы, которые нельзя вывести из поведения ее частей. Две подсистемы с устойчивым поведением могут превратиться в хаотическую систему при объединении подсистем.
Примером такой хаотической системы может служить маятник на растяжимом подвесе, который можно рассматривать как совокупность двух подсистем: математического и пружинного маятников.
Задачами данной работы являлось изучение движения маятника на растяжимом подвесе и создание его компьютерной модели.
Создание физической модели.
Первым этапом работы являлось создание физической модели. Для этого изучались колебательные движения маятника, представляющего собой груз на пружине, закреплённой на штативе.
Масса груза была равной m=0.1 кг, а коэффициент упругости пружины составлял (25±
7) H/м. Груз отводился на определённый угол, а затем отпускался. Колебания фиксировались видеокамерой, а затем по кадрам вводились в компьютер (рис 1).
По полученным снимкам, интервал времени между которыми составлял D
t = 0,04 с, определялись координаты тела. Точность измерения координат составляла ±
2 мм.
Рис. 1 Кадр движения маятника, полученный из видеозаписи (слева) и наложение нескольких кадров, демонстрирующее характер движения груза (справа)
Данные измерений заносились в электронную таблицу “
EXCEL”, с помощью которой далее были получены представленные в работе графики движения.
X- и Y- координат груза от времени. Измерения производились при двух различных начальных условиях. В первом случае тело только отклонялось от положения равновесия на угол, равный 34о, а во втором – пружина, кроме этого ещё и растягивалась на величину D
l = 3,6 см.
Расчеты периодов колебаний математического и пружинного маятников, имеющих параметры (длину подвеса, массу груза и коэффициент упругости пружины), аналогичные параметрам исследуемой системы, дают следующие значения: период колебания математического маятника
TМ »
1,0 с и период колебаний пружинного маятника TП »
0,35 с.
Если принять длину пружины растянутой за счёт действия силы тяжести за длину подвеса, то период колебаний данного математического маятника (таблица 1) приблизительно равен Тм »
1с. На графике зависимости
от времени X- и Y-координат колеблющегося тела видно, что координата Х меняется за 0,9 с то есть почти за период равный Тм. Таким образом, координата Х в основном обуславливается подсистемой математического маятника.
Рис. 2 Зависимости от времени X- и Y-координат колеблющегося тела для случаев запуска маятника без начального натяжения пружины и при наличии начального натяжения. Координаты нормированы к амплитудному значению.
Таблица 1.
Если же рассматривать изменения
Y как пример движения пружинного маятника, то период колебаний данного пружинного маятника приблизительно составляет Тп »
0,35 с. На графике зависимости от времени X- и Y-координат колеб лющегося тела заметно, что
период изменения
координаты Y составляет около 0,35 с в случае предварительного растяжения пружины и 0,41 с, когда груз просто отпускался. Тогда становится ясным, что на изменение координаты Y маятника на растя жимом подвесе в основном определяется подсистемой пружинного маятника. Также на графике можно легко увидеть заметное различие изменений координаты X при разных начальных условиях. Если пружину предварительно не растягивали, а просто
Рис. 3 Зависимости проекций скоростей VX и VY от времени при запуске маятника без начального натяжения пружины и при наличии начального натяжения.
отпускали с определённого угла от положения равновесия, координата
X изменялась практически как у математического маятника. Во втором случае, когда пружина растягивалась, увеличивалась частота измененияY-координаты. Это объясняется тем, что с появлением дополнительной силы в случае предварительного растяжения тело приобретает большее ускорение, чем при отсутствии начального натяжения. Поэтому период в данном случае меньше.
Аналогично изменяется скорость колеблющегося тела (рис. 3). Зависимости проекций скоростей
VY от времени при запуске маятника без начального натяжения пружины и при наличии начального натяжения так же различаются, то есть период колебаний в первом случае больше. Интересно то, что в зависимости проекции скорости VX от времени при запуске маятника с начальным растяжением на колебания подсистемы математического маятника накладываются колебания вызванные подсистемой пружинного маятника.
Также изменяется и фазовая траектория (рис. 4). Если фазовая траектория случая без растяжения пружины соответствовала гармоническим колебаниям, то в случае предварительного растяжения пружины, фазовая траектория не является гармонической.
Рис. 4 Фазовые плоскости (X-V
x), соответствующие колебаниям системы без начального натяжения пружины (слева) и при наличии начального натяжения (справа).
Создание компьютерной модели
Следующим этапом работы являлось создание программы, моделирующей колебания тела на растяжимом подвесе.
Задачи динамики решаются просто, если все силы, действующие на тело при его движении, остаются постоянными.
Однако вычисления значительно усложняются, если силы, действующие на тело, изменяются в процессе его движения. Ведь в таких случаях, чтобы найти новое положение тела, нужно знать скорость тела в течение всего времени его движения. Скорость, в свою очередь, зависит от ускорения. Но чтобы найти ускорение, нужно знать положение тела и его скорость.
Рис. 5 Силы, действующие в системе с растяжимым подвесом во время колебаний.
Выход из этого круга был найден самим Ньютоном. Он предложил приближенный численный метод, пригодный для решения любой задачи механики. С некоторыми уточнениями этот метод широко используется в современной науке и технике. В частности, при помощи него рассчитывается движение планет и их естественных и искусственных спутников, космических кораблей и т. д.
Рассмотрим движение маятника на растяжимом подвесе. Прежде всего определим силы действующие тело, подвешенное на пружине (рис. 5):
Для тела массой т, на которое действует сила упругости, проекция (
Fyпр)x из второго закона Ньютона max = (Fyпр)x следует, что ускорение равно аx =(Fyпр)x /m. Это - центростремительное ускорение.
Кроме силы упругости на тело действует также постоянная сила тяжести
FТ равная
F
Т = mg, (2)
где
g это ускорение свободного падения
Пусть в момент времени
to, принимаемый за начальный, тело имело координату xои скорость yо. За малый промежуток времени D
t = t1 - to (например, 0,1 с, 0,01 с и т.д.) скорость тела меняется очень мало. Ее приближенно можно считать постоянной и для вычисления координаты х тела к концу промежутка времени D
t, т. е. к моменту времени t1, воспользоваться формулой для равномерного движения:
ax = -kx/m ускорение тела зависит от его координаты. Но при малом значении D
t координата тела будет мало отличаться от значения начальной координаты xo.Поэтому в течение всего промежутка времени D
t ускорение можно приближенно считать постоянным и принять его равным начальному значению, т. е. k
t, т. е. в момент времени t1, мы имеем новые значения X1и V1x координаты тела и его скорости. Эти данные можно принять за начальные для следующего такого же промежутка времени D
t = t2 - t1 и точно таким же образом вычислить значения x2 и V2x, которые соответствуют концу второго промежутка времени, т. е. моменту временя t2. При этом для вычисления x2 вместо Xо и Voxследует взять X1 и V1x, а для вычисления V2x вместо Vox и аох соответственноV1x и a1x. В свою очередь, a1x получается подстановкой в формулу ax = -kx/m не xo a x1, т. е. a1x = -kx1/m.
Подобные расчеты можно продолжить для последующих промежутков времени D
t, пока не будет перекрыто все то время - течение которого мы интересуемся движением. Конечно, такой расчет является приближенным. Мы ведь для каждого промежутка времени заменяем движение с переменным ускорением на движение с постоянным ускорением. Можно, однако, полагать, что при уменьшении D
t точность результатов возрастает. Следует иметь в виду, что на практике уменьшение промежутков времени D
t приводит к увеличению числа этих промежутков или, как говорят, к увеличению числа шагов, необходимого для перекрытия всего времени, в течение которого мы рассматриваем движение. В результате трудоемкость вычислений может оказаться очень значительной. Поэтому большое значение имеют приемы, позволяющие достигнуть достаточной точности за меньшее число шагов. Приведем простейший из этих приемов.
Скорость и ускорение тела изменяются непрерывно в течение каждого из промежутков времени D
t — в конце промежутка они не те, что были в начале. Поэтому в формулах (3) и (4) следовало бы использовать значения скорости и ускорения не в начале промежутка D
t = t1 - to, а в его середине. Это можно сделать, вычислив предварительно значения координаты и скорости по этим же формулам, но вместо D
t взяв D
t/2.Значение ускорения в середине промежутка времени D
t можно найти, используя полученное значение координаты.
Результаты расчетов показаны на рис.
6 и 7.
Рис.
6 Изменение координаты (слева) и скорости (справа) движения тела на растяжимом подвесе по результатам компьютерного моделирования.
Рис.
7 Траектория движения тела на растяжимом подвесе (слева) и фазовая плоскость колебаний (справа) по результатам компьютерного моделирования.
Видно, что траектория движения тела, смоделированная на компьютере лишь качественно передаёт характер движения реального маятника (рис.
8). Это связано с тем, что хаотические системы чувствительны не только к начальным условиям, но и к вариациям положения и скорости в каждой точке своей траектории.
Рис.
8 Траектории движения колеблющегося тела для случаев запуска маятника без начального натяжения пружины (слева) и при наличии начального натяжения (спра-ва).
На компьютере мы решаем задачу с точно фиксированными начальными условиями. Однако в случае сильной неустойчивости результаты расчета могут не совпадать с реально наблюдаемым движением. Ведь малейшие изменения начальных условий приведут к совершенно другой траектории по истечении даже небольшого интервала времени. А фиксировать совершенно точно начальные условия в реальной задаче мы не можем.
